HAKIKAT MATEMATIKA
DAN MATEMATIKA SEKOLAH
A. Hakikat
Matematika
Hakikat matematika artinya menguraikan apa
sebenarnya matematika itu, baik ditinjau dari arti kata matematika,
karakteristik matematika sebagai suatu ilmu, maupun peran dan kedudukan
matematika diantara cabang ilmu pengetahuan serta manfaatnya.
Matematika merupakan salah satu bidang studi yang diajarkan
di SD. Seorang guru SDyang akan mengajarkan matematika kepada siswanya,
hendaklah mengetahui danmemahami objek yang akan diajarkannya, yaitu
matematika. Untuk menjawab pertanyaan “Apakah matematika itu ?”tidak dapat
dengan mudah dijawab.Hal ini dikarenakan sampai saat ini belum ada kepastian
mengenai pengertian matematika karenapengetahuan dan pandangan masing-masing
dari para ahli yang berbeda-beda. Ada yangmengatakan bahwa matematika adalah
ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika
adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dandeduktif,
matematika adalah metode berpikir logis,
matematika adalah ilmu yang mempelajarihubungan pola, bentuk dan
struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayanilmu yang
lain.
B. Pengertian Matematika
Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika
yang mulanya diambil dariperkataan Yunani mathematike yang berarti
mempelajari.Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti
pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula
dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya
belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika
berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).
Menurut Kamus
Bahasa Indonesia (1997:430) matematika adalah ilmu tentang bilangan, hubungan
antar bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan untuk menyelesaikan
masalah mengenai bilangan.
Matematika terbentuk dari pengalaman manusia
dalam dunianya secara empiris. Kemudian
pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan
penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep
matematika,
supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang
lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua
notasimatematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat
karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.
Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah
Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus,
Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, AljabarLinear, Himpunan, Geometri
Linier, Analisis Vektor,dll.
Beberapa
Definisi Para Ahli Mengenai Matematika antara lain :
1.
Johnson dan Rising dalam Russefendi
(1972)
Matematika adalah pola
berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian
yang logis,matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang
didefinisikan dengan cermat,jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan padat, lebih berupa bahasa simbolmengenai ide daripada mengenai
bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat
dalam teori-teori dibuatsecara deduktif berdasarkan kepada unsuryang tidak
didefinisikan, aksioma, sifat atau teoriyang telah dibuktikan kebenarannya
adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni,
keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.
2.
Kline (1973)
Matematika itu bukan
pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi
adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan
menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.
3.
James dan james (1976).
Matematika adalah ilmu
tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang
berhubungan satu dengan lainnya.Matematika terbagi dalam tiga bagian besar
yaitu aljabar, analisis dan geometri.Tetapi ada pendapat yang mengatakan
bahwamatematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar,
geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan
statistika.
4.
Russeffendi ET (1980)
Matematika lebih
menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil
eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran
manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran.
5.
Reys - dkk (1984)
Matematika adalah
telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni,
suatu bahasa dan suatu alat.
6.
Russefendi (1988 : 23)
Matematika
terorganisasikan dari unsur-unsur yang
tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil
dimana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena
itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.
7.
Soedjadi (2000:11)
Matematika adalah
pengetahuan eksak dengan objek abstrak
meliputi konsep, prinsip, dan
operasi yang berhubungan dengan bilangan.
Dari beberapa
pendapat di atas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah ilmu tentang
bilangan, hubungan antar bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan
untuk menyelesaikan masalah mengenai bilangan dengan objek abstrak yang diatur
secara logis yang didapat dengan berpikir.
C. Karakteristik
matematika
Sedikitnya
matematika itu memiliki 6 karakteristik (ciri khusus), yaitu:
1. Memiliki objek kajian yang abstrak
Semua objek
kajian dalam matematika adalah abstrak atau objek pikiran atau objek mental.
Objek-objek itu meliputi:
(a) fakta
(b) konsep
(c) operasi/ relasi/ skill dan
(d) prinsip
Dari objek-objek dasar itu kemudian
disusun suatu pola dan struktur matematika.
a) Fakta
Fakta
adalah konvensi-konvensi (kesepakatan-kesepakatan) yang diungkapkan dengan
simbol (notasi) tertentu.
Contoh fakta: “2”,
“>”, “//”, “+” dll.
b) Konsep
(yang berkaitan erat dengan definisi)
Konsep adalah idea abstrak yang dapat
digunakan untuk menggolongkan objek-objek tertentu, apalah merupakan contoh
atau bukan contoh dari idea tersebut.
Contoh konsep: “bilangan asli”, “segitiga”, “fungsi”,
“variabel”, “konstanta”, “matriks”, “vektor”, “group”, “ruang metrik”
dll.
Definisi adalah suatu ungkapan yang
membatasi suatu konsep. Dengan definisi itu, sutau konsep dapat dibuat gambar
atau ilustrasi atau lambangnya.
Dalam matematika terdapat tiga macam definisi, yaitu:
1. Definisi analitis
Adalah definisi
yang menyebutkan genus proksimum atau genus terdekat dan deferensia spesifika
atau pembeda khususnya)
2. Definisi genetic
Adalah definisi
yang menyebutkan proses terjadinya
3. Definisi dengan rumus
Adalah definisi
yang dinyatakan dalam bentuk rumus, seperti: a – b = a+ (-b), n! = n(n –
1), 0! = 1 dll.
c) Operasi yang merupakan suatu
fungsi (relasi khusus).
Operasi adalah suatu aturan untuk memperoleh elemen
tunggal, dari satu atau lebih elemen yang diketahui.
Contoh operasi: penjumlahan,
pengurangan, perkalian, perpangkatan, tambah lima dll (pada aljabar), gabungan,
irisan, komplemen dll. (pada himpunan). Berdasarkan banyaknya unsur yang
dioperasikan, dikenal adanya : operasi unair, operasi biner, operasi terner dsb
Bila yang ditekankan adalah keterampilannya, operasi ini sering disebut skill.
d) Prinsip
Prinsip adalah
gabungan beberapa objek matematika (fakta atau konsep) yang dihubungkan dengan
relasi atau operasi tertentu. Prinsip dalam matematika dapat berupa: aksioma,
lemma, teorema (dalil) dan sifat.
2. Bertumpu pada kesempatan
Kesepakatan
yang amat mendasar dalam matematika adalah:
a. Aksioma/postulat/asumsi/pernyataan
pangkal (yang tidak perlu dibuktikan)
Aksioma diperlukan
untuk menghindarkan berputar-putarnya argumentasi dalam pembuktian (cinculus in
pro bando). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang
selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat
konsep primitif tertentu dan dari satu atau lebih konsep primitif dapat
dibentuk konsep baru melalui pendefinisian. (Penjelasan lebih lanjut pada
Sistem dan Struktur Matematika).
b. Konsep
primitive/ undefined terms/ pengertian pangkal (yang tidak perlu didefinisikan)
Konsep primitive diperlukan untuk menghindarkan berputar-putar dalam
pendefinisian (cincolus in definiando).
3. Berpola
pikir deduktif (dari hal yang bersifat umum diterapkan ke hal yang bersifat
khusus)
Dalam matematika
sebagai “ ilmu “ hanya diterima pola pikir deduktif dalam bentuk sederhana
maupun kompleks. Tidak dibenarkan membuktikan kebenaran suatu teorema/ dalil
secara induktif (dari hal yang bersifat khusus diarahkan ke hal yang bersifat
umum). Memang benar banyak teorema dalam matematika ditemukan secara induktif
(seperti Teorema Pytagoras), namun untuk dimasukkan ke dalam struktur
matematika setelah ia dapat dibuttikan secara deduktif.
Contoh deduktif sederhana:
·
Ketika seorang anak SD yang baru
menerima pelajaran di sekolah tentang persegi panjang, kemudian ia bisa
menunjuk model-model benda yang berbentuk persegi panjang.
·
Pembuktian Jumlah besar susut-sudut
segitiga = 180 derajat, melalui besar sudut lurus dan sifat sudut-sudut: di
antara garis-garis sejajar.
Contoh – Contoh Teorema untuk dibuktikan
secara deduktif tidak sederhana:
·
Jumlah dua bilangan ganjil adalah
bilangan genap
·
A U B = B U A
4. Memiliki
Simbol Yang Kosong Dari Arti
Rangkaian simbol-simbol dalam matematika
dapat membentuk suatu model matematika, yang dapat berupa: persamaan,
pertidaksamaan, bangun geometri tertentu dan sebagainya.
Huruf-huruf yang digunakan dalam model
persamaan, misalnya : “x+y = z” belum tentu berarti bilangan, demikian juga
tanda “+“ belum tentu berarti operasi tambah dalam bilangan, namun tergantung
dari permasalahan yang menyebabkan terbentuknya model itu.
Kosongnya arti simbol maupun tanda dalam
model matematika itu justru memungkinkan “intervensi” matematika kedalam
berbagai pengetahuan dan memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari
ilmu bahasa (liguistik)
5. Memperhatikan
Semesta Pembicaraan
Sehubungan dengan kosongnya arti dari
simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan
matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipakai, bila
lingkup pembicaraan bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup
pembicaraannya transformasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu
transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan.
Benar atau salahnya ataupun ada atau tidaknya penyelesaian suatu model
matimatika ditentukan oleh semesta pembicaranya.
6. Konsisten
Dalam Sistemnya
Dalam matematika terdapat banyak sistem.
Ada sistem yang mempunyai kaitan satu sama lain tetapi juga ada sistem
yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem - sistem
aljabar, atau sistem - sistem geometri. Di dalam masing-masing sistem dan
struktur itu berlaku konsistensi (tidak boleh terdapat kontradiksi) baik
dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaranya.
D. Kedudukan Matematika
1.
Matematika Adalah Ilmu Deduktif
Matematika
dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi)
dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang
lain. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak
dapat dengan carainduktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif
dan eksperimen.
Walaupun
dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif,
tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat
dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima
kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.
Contoh
dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logamdipanaskan
maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan
ternyata memuai juga, maka ia dapat membuat kesimpulan (generalisasi) bahwa
setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai. Generalisasi yang dibuat secara
induktif tersebut dalam ilmu fisika dapat dibenarkan contoh dalam ilmu fisika
di atas, pada
matematika contoh-contoh seperti itu baru dianggap sebagai generalisasi jika
kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Berikut
adalah beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada matematika.Dalilatau
generalisasi berikut dibenarkan dalam matematika karena sudah dapat dibuktikan
secara deduktif.
Contoh
1
Bilangan ganjil
ditambah bilangan ganjil adalah bilangan genap.Misalnya kita ambil beberapa
buah bilangan ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5,
7.
+ 1
3 -5
7
1
2 4
-4 6
3
4 6
-2 10
-5
-4 -2
-10 2
7
8 10
2 14
Dari tabel di atas, terlihat bahwa untuk
setiap duabilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalugenap.Dalam
matematika hasil di atas belum dianggap sebagai suatu generalisasi,walaupun
anak membuat contoh-contoh dengan bilangan yang lebih banyak lagi. Pembuktian
dengancarainduktif ini harus dibuktikan lagi dengan cara deduktif.
Pembuktian secara deduktif sebagai
berikut :
Misalkan : a
dan b adalah sembarang bilangan bulat,maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan
genap genap, maka 2a +1 bilangna ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil.
Jika dijumlahkan
:
(2a + 1) + (2b + 1) =
2a + 2b + 2 =
2 (a + b + 1) =
Karena a dan b bilangan bulat maka (a +
b + 1) jugabilangan bulat, sehingga 2 (a + b +1) adalah bilangan genap. Jadi
bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap(generalisasi).
Dalil-dalil dan rumus matematika itu
ditentukan secara induktif (eksperimen), tetapi begitu suatu dalil ditemukan
maka generalisasi itu harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.
Pada pembelajaran matematika di SD
pembuktian dengan cara deduktif masih sulit dilaksanakan. Karena itu siswa SD
hanya melakukan eksperimen (metode induktif).Percobaan-percobaan inipun masih menggunakan
benda-benda konkrit (nyata).Untuk pembuktian deduktifmasih sulit dilaksanakan
karena pembuktian deduktiflebih abstrak dan menuntut siswa mempunyai
pengetahuan-pengetahuan siswa yang sebelumnya.Contoh : Pada pembuktianbilangan
ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap siswa harus sudah mengerti
bilanganganjil, genap, bulat dan dapat menyelesaikan dalam bentuk umum bilangan-bilangan
tersebut.
2.
Matematika Adalah Ilmu Terstruktur
Matematika
merupakan ilmu terstruktur yang terorganisasikan.Hal ini karena matematika
dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan
ke aksioma / postulat dan akhirnya pada teorema.Konsep-konsepmtematika tersusun
secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistimatis mulai dari konsep yang
paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Oleh karena itu untuk
mempelajari matematika, konsep sebelumnya yang menjadi prasyarat, harus
benar-benar dikuasai agar dapat memahami
topik atau konsepselanjutnya.
Dalam
pembelajaran matematika guru seharusnya menyiapkan kondisi siswanya agar mampu
menguasai konsep-konsep yang akan dipelajari
mulai dari yang sederhana sampai yang lebih kompleks.
Contoh seorang
siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajarimulai
dari lingkaran, luas lingkaran, bangun ruang
dan akhirnya volume kerucut. Untuk dapat mempelajari topik volume balok,
maka siswa harus mempelajari rusuk atau
garis, titik sudut, sudut,bidang datar persegi dan persegi panjang, luas
persegi dan persegi panjang, dan akhirnya volume balok.
Struktur matematika adalah sebagai berikut :
a.
Unsur-unsur yang tidak didefinisikan
Misal : titik, garis, lengkungan,
bidang, bilangan dll.
Unsur-unsur ini ada, tetapi kita
tidak dapat mendefinisikannya. Unsur-unsur yang didefinisikan dari unsur-unsur
yang tidak didefinisikan maka terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan.
Misal
: sudut, persegi panjang, segitiga, balok, lengkungan tertutup sederhana, bilangan
ganjil, pecahan desimal, FPB dan KPK dll.
b.
Aksioma dan postulat
Dari unsur-unsur yang tidak
didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan dapat dibuatasumsi-asumsi yang
dikenal dengan aksioma atau postulat.
Misal
:
- Melalui 2 titik sembarang hanya dapat
dibuat sebuah garis.
-
Semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar.
- Melalui sebuah
titik hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus kesebuah garis yang
lain.
- Sebuah segitiga tumpul hanya mempunyai
sebuah sudut yang lebih besar dari 900
Aksioma tidak perlu dibuktikan
kebenarannya tetapi dapat diterima kebenarannya
berdasarkan pemikiran yang logis.
c.
Dalil atau Teorema
Dari unsur-unsur
yangtidak didefinisikan dan aksioma maka disusun teorema-teorema atau
dalil-dalil yang kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif.
Misal :
- Jumlah 2 bilangan ganjil adalah
genap
- Jumlah ketiga sudut pada sebuah
segitiga sama dengan 1800
-
Jumlah
kuadrat sisi siku-siku pada sebuahsegitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya.
3.
Matematika Adalah Ilmu Tentang Pola dan
Hubungan
Matematika
disebut sebagai ilmu tentang pola karenapada matematika sering dicari
keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep
tertentu atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.
Misal :
Jumlah
a bilangan genap selamanya sama dengan a2
Contoh
:
a = 1 maka jumlahnya = 1 = 12
Selanjutnya
1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjilvjumlahnya adalah 4 = 22. Berikutnya
1, 3, 5, dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 42dan seterusnya.
Dari
contoh-contoh tersebut, maka dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu
jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama dengan a2.
Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena
konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.
Misalnya
: Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara
kerucut dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 =6, antara 102= 100 dengan 100 = 10.
Demikian juga cabang matematika satu dengan
lainnyasaling berhubungan seperti aritmatika, aljabar, geometri, statistika, dan analisis.
4.
Matematika Adalah Bahasa Simbol
Matematika yang
terdiri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat internasional.
Padat arti berarti simbol-simbol matematika ditulisdengan cara singkattetapi
mempunyai arti yang luas.
Misal :
= 3 , 3 + 5 = 8, 
= 1 x 2 x 3
= 3 , 3 + 5 = 8, = 1 x 2 x 3
log 100 = 2 , cos, tg, sin, ∪, ∩, =, >, <
5.
Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu
Matematika
sebagai ratu ilmu artinya matematika sebagai alat dan pelayan ilmu yang lain. Banyak sekali cabang ilmu pengetahuanyang pengembangan
teori-teorinya didasarkan pada pengembangan konsepmatematika. Sebagai contoh,
banyak teori-teori dan cabang-cabang dari fisikadan kimia (modern) yang
ditemukan dan dikembangkan melalui konsepkalkulus, khususnya tentang persamaan
differensial. Contoh lain, teoriekonomi mengenai permintaan dan penawaran yang
dikembangkan melaluikonsep fungsi dan kalkulus tentang differensial dan
integral.Dari kedudukan matematika sebagai pelayan ilmu pengetahuan,tersirat
bahwa matematika sebagai suatu ilmu yang berfungsi pula untukmelayani ilmu
pengetahuan. Dapat dikatakan bahwa matematika tumbuh danberkembang untuk
dirinya sendiri sebagai suatu ilmu dan sebagai penyediajasa layanan untuk
pengembangan ilmu-ilmu yang lain pula.
E.
Kegunaan
Matematika
1.
Matematika sebagai pelayan ilmu yang
lain.
Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan
pengembangannya bergantung dari matematika.
Contoh :
o
Penemuan dan pengembangan Teori Mendel
dalam Biologi melalui konsep Probabilitas.
o
Perhitungan dengan bilangan imajiner
digunakan untuk memecahkan masalah tentang kelistrikan.
o
Dengan matematika, Einstein membuat
rumus yang dapat digunakan untuk menaksir jumlah energi yang dapat diperoleh
dari ledakan atom.
o
Dalam ilmu pendidikan dan psikologi,
khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga digunakan
persamaan matematis untuk menyajikan
teori atau model dari penelitian.
o
Dalam ilmu kependudukan, matematika
digunakan untukmemprediksi jumlah penduduk dll.
o
Dalam seni grafis, konsep transformasi
geometric digunakan untuk melukis mosaik.
o
Dalam seni musik, barisan bilangan
digunakan untuk merancang alat musik.
o
Banyak teori-teori dari Fisika dan Kimia
(modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus.
o
Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan
Penawaran dikembangkan melalui konsep FungsiKalkulus tentang Diferensial dan
Integral.
2.
Matematika digunakan manusia untuk
memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh :
o
Memecahkan persoalan dunia nyata.
o
Mengadakan transaksi jual beli, maka
manusia memerlukan proses perhitungan matematika yang berkaitan dengan bilangan
dan operasihitungnya.
o
Menghitung luas daerah.
o
Menghitung jarak yang ditempuh dari
suatu tempat ke tempat yang lain.
o
Menghitung laju kecepatan kendaraan.
o
Membentuk pola pikir menjadi pola pikir
matematis, orang yangmempelajarinya kritis, sistimatis dan logis.
o
Menggunakan perhitungan matematika baik
dalam pertanian, perikanan,perdagangan, dan perindustrian.
F. Pengertian Matematika Sekolah
Matematika sekolah
merupakan bagian dari matematika yang diajarkan di semua
jenjang sekolah (SD/ MI, SMP/ MTs. dan SMA/ MA atau SMK/ MAK), bagian dari matematika yang dipilih
berdasarkan/ beroriantasi pada kepentingan pendidikan (disesuaikan dengan
perkembangan intelektual siswa) dan perkembangan IPTEK.Dari pengertian itu menunjukkan
bahwa terdapat beberapa perbedaan antara matematika sebagai ilmu dengan
matematika sekolah dalam 4 hal yaitu dalam hal:
(a) teknik penyajian,
(b) pola pikir yang digunakan,
(c) keterbatasan semesta dan
(d) tingkat
keabstrakannya.
Beberapa perbedaan tersebut dapat dilihat pada tabel
berikut ini:
Tabel
Beberapa perbedaan matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah
|
Perbedaan dlm
|
Mat. Sbg Ilmu
|
Mat. Sekolah
|
|
Penyajian biasanya
|
Dimulai dari definisi/kadang aksioma –
teorema – contoh – contoh
|
Dimulai dengan contoh-contoh yang
terkait dengan realitas di sekitar siswa/ pemakaiannya, baru mengarah ke
definisi, aksioma/sifat secara informal & secara berangsur-angsur menuju
formal
|
|
Pola pikir yang digunakan
|
Murni deduktif – aksiomatik
|
Induktif – tapi harus mengarah ke
deduktif
|
|
Semestanya
|
Tidak dibatasi
|
Dibatasi sesuai dengan tarap
perkembangan berpikir siswa
|
|
Keabstra-kan materinya
|
Tetap abstrak
|
Diupayakan mulai dari konkrit – semi
konkrit – semi abstrak - abstrak
|
G.
Peran Matematika
Sekolah
Sesuai dengan tujuan diberikannya
matematika di sekolah, kita dapat melihat bahwa matematika sekolah memegang
peranan sangat penting. Anak didik memerlukan matematika untuk memenuhi
kebutuhan praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari.Misalnya,
dapat berhitung, dapat menghitung isi dan berat, dapat mengumpulkan, mengolah,
menyajikan dan menafsirkan data, dapat menggunakan kalkulator dan komputer.
Selain itu, agar mampu mengikuti pelajaran matematika lebih lanjut, membantu
memahami bidang studi lain seperti fisika, kimia, arsitektur, farmasi,
geografi, ekonomi, dan sebagainya, dan agar para siswa dapat berpikir logis,
kritis, dan praktis, beserta bersikap positif dan berjiwa kreatif.
Sebagai warga negara Indonesia yang
berhak mendapatkan pendidikan seperti yang tertuang dalam UUD 1945, tentunya
harus memiliki pengetahuan umum minimum.Pengetahuan minimum itu diantaranya
adalah matematika.Oleh sebab itu, matematika sekolah sangat berarti baik bagi
para siswa yang melanjutkan studi maupun yang tidak.
Bagi mereka yang tidak melanjutkan
studi, matematika dapat digunakan dalam berdagang dan berbelanja, dapat
berkomunikasi melalui tulisan/gambar seperti membaca grafik dan persentase,
dapat membuat catatan-catatan dengan angka, dan lain-lain. Kalau diperhatikan
pada berbagai media massa, seringkali informasi disajikan dalam bentuk persen,
tabel, bahkan dalam bentuk diagram. Dengan demikian, agar orang dapat
memperoleh informasi yang benar dari apa yang dibacanya itu, mereka harus
memiliki pengetahuan mengenai persen, cara membaca tabel, dan juga diagram.
Dalam hal inilah matematika memberikan peran pentingnya.
Sejalan dengan kemajuan jaman,
tentunya pengetahuan semakin berkembang.Supaya suatu negara bisa lebih maju,
maka negara tersebut perlu memiliki manusia-manusia yang melek teknologi.Untuk
keperluan ini tentunya mereka perlu belajar matematika sekolah terlebih dahulu
karena matematika memegang peranan yang sangat penting bagi perkembangan
teknologi itu sendiri.Tanpa bantuan matematika tidak mungkin terjadi
perkembangan teknologi seperti sekarang ini.
Namun demikian, matematika
dipelajari bukan untuk keperluan praktis saja, tetapi juga untuk perkembangan
matematika itu sendiri. Jika matematika tidak diajarkan di sekolah maka sangat
mungkin matematika akan punah. Selain itu, sesuai dengan karakteristiknya yang
bersifat hirarkis, untuk mempelajari matematika lebih lanjut harus mempelajari
matematika level sebelumnya.Seseorang yang ingin menjadi ilmuawan dalam bidang
matematika, maka harus belajar dulu matematika mulai dari yang paling dasar.
Jelas bahwa matematika sekolah mempunyai
peranan yang sangat penting baik bagi siswa supaya punya bekal pengetahuan dan
untuk pembentukan sikap serta pola pikirnya, warga negara pada umumnya supaya
dapat hidup layak, untuk kemajuan negaranya, dan untuk matematika itu sendiri
dalam rangka melestarikan dan mengembangkannya.
H. Fungsi
Matematika Sekolah
Fungsi matematika adalah sebagai
media atau sarana siswa dalam mencapai kompetensi. Dengan mempelajari materi
matematika diharapkan siswa akan dapat menguasai seperangkat kompetensi yang
telah ditetapkan. Oleh karena itu, penguasaan materi matematika bukanlah tujuan
akhir dari pembelajaran matematika, akan tetapi penguasaan materi matematika
hanyalah jalan mencapai penguasaan kompetensi. Fungsi lain mata pelajaran
matematika sebagai: alat, pola pikir, dan ilmu atau pengetahuan. Ketiga fungsi
matematika tersebut hendaknya dijadikan acuan dalam pembelajaran matematika
sekolah.
Dengan mengetahui fungsi-fungsi
matematika tersebut diharapkan kita sebagai guru atau pengelola pendidikan
matematika dapat memahami adanya hubungan antara matematika dengan berbagai
ilmu lain atau kehidupan. Sebagai tindaklanjutnya sangat diharapkan agar para
siswa diberikan penjelasan untuk melihat berbagai contoh penggunaan matematika
sebagai alat untuk memecahkan masalah dalam mata pelajaran lain, dalam
kehidupan kerja atau dalam kehidupan sehari-hari. Namun tentunya harus
disesuaikan dengan tingkat perkembangan siswa, sehingga diharapkan dapat
membantu proses pembelajaran matematika di sekolah.
Siswa diberi pengalaman menggunakan
matematika sebagai alat untuk memahami atau menyampaikan suatu informasi
misalnya melalui persamaan-persamaan, atau tabel-tabel dalam model-model
matematika yang merupakan penyederhanaan dari soal-soal cerita atau soal-soal
uraian matematika lainnya.Bila seorang siswa dapat melakukan perhitungan,
tetapi tidak tahu alasannya, maka tentunya ada yang salah dalam pembelajarannya
atau ada sesuatu yang belum dipahami.Belajar matematika juga merupakan
pembentukan pola pikir dalam pemahaman suatu pengertian maupun dalam penalaran
suatu hubungan di antara pengertian-pengertian itu.
Dalam pembelajaran matematika, para
siswa dibiasakan untuk memperoleh pemahaman melalui pengalaman tentang
sifat-sifat yang dimiliki dan yang tidak dimiliki dari sekumpulan objek (abstraksi).Dengan
pengamatan terhadap contoh-contoh diharapkan siswa mampu menangkap pengertian
suatu konsep.Selanjutnya dengan abstraksi ini, siswa dilatih untuk membuat
perkiraan, terkaan, atau kecenderungan berdasarkan kepada pengalaman atau
pengetahuan yang dikembangkan melalui contoh-contoh khusus (generalisasi). Di
dalam proses penalarannya dikembangkan pola pikir induktif maupun deduktif.
Namun tentu kesemuanya itu harus disesuaikan dengan perkembangan kemampuan
siswa, sehingga pada akhirnya akan sangat membantu kelancaran proses
pembelajaran matematika di sekolah.
Fungsi matematika yang ketiga adalah
sebagai ilmu pengetahuan, oleh karena itu, pembelajaran matematika di sekolah
harus diwarnai oleh fungsi yang ketiga ini.Sebagai guru harus mampu menunjukkan
bahwa matematika selalu mencari kebenaran, dan bersedia meralat kebenaran yang
telah diterima, bila ditemukan kesempatan untuk mencoba mengembangkan
penemuan-penemuan sepanjang mengikuti pola pikir yang sah.
Dalam buku standar kompetensi
matematika Depdiknas, secara khusus disebutkan bahwa fungsi matematika adalah
mengembangkan kemampuan berhitung, mengukur, menurunkan rumus dan menggunakan
rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui pengukuran
dan geometri, aljabar, peluang dan statistika, kalkulus dan trigonometri.
Metamatika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan
melalui model matematika, diagram, grafik, atau tabel.
I.
Tujuan
Matematika Sekolah
Matematika diajarkan di sekolah
membawa misi yang sangat penting, yaitu mendukung ketercapaian tujuan
pendidikan nasional. Secara umum tujuan matematika sekolah dapat digolongkan
menjadi :
1.
Tujuan
yang bersifat formal, menekankan kepada menata penalaran dan membentuk
kepribadian siswa.
2.
Tujuan
yang bersifat material menekankan kepada kemampuan memecahkan masalah dan
menerapkan matematika.
Secara lebih terinci, tujuan
pembelajaran matematika dipaparkan pada buku standar kompetensi mata pelajaran
matematika sebagai berikut:
1.
Melatih
cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan
penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan,
konsistensi dan inkonsistensi.
2.
Mengembangkan
aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan
mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi
dan dugaan, serta mencoba-coba.
3.
Mengembangkan
kemampuan memecahkan masalah.
4.
Mengembangkan
kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain
melalui pembicaraan lisan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan.
J.
Ruang Lingkup
Matematika Sekolah
Pembelajaran matematika di sekolah
diarahkan pada pencapaian standar kompetensi dasar oleh siswa.Kegiatan
pembelajaran matematika tidak berorientasi pada penguasaan materi matematika
semata, tetapi materi matematika diposisikan sebagai alat dan sarana siswa
untuk mencapai kompetensi.Oleh karena itu, ruang lingkup mata pelajaran
matematika yang dipelajari di sekolah disesuaikan dengan kompetensi yang harus
dicapai siswa.
Standar kompetensi matematika
merupakan seperangkat kompetensi matematika yang dibakukan dan harus
ditunjukkan oleh siswa sebagai hasil belajarnya dalam mata pelajaran
matematika.Standar ini dirinci dalam kompetensi dasar, indikator, dan materi
pokok, untuk setiap aspeknya.Pengorganisasian dan pengelompokan materi pada
aspek tersebut didasarkan menurut kemahiran atau kecakapan yang hendak ingin di
capai.
Merujuk pada standar kompetensi dan
kompetensi dasar yang harus dicapai siswa maka ruang lingkup materi matematika
adalah aljabar, pengukuran dan geomerti, peluang dan statistik, trigonometri,
serta kalkulus.
