HAKIKAT MATEMATIKA DAN MATEMATIKA SEKOLAH

HAKIKAT MATEMATIKA

DAN MATEMATIKA SEKOLAH

A.    Hakikat Matematika

Hakikat matematika artinya menguraikan apa sebenarnya matematika itu, baik ditinjau dari arti kata matematika, karakteristik matematika sebagai suatu ilmu, maupun peran dan kedudukan matematika diantara cabang ilmu pengetahuan serta manfaatnya.

Matematika merupakan salah satu bidang studi yang diajarkan di SD. Seorang guru SDyang akan mengajarkan matematika kepada siswanya, hendaklah mengetahui danmemahami objek yang akan diajarkannya, yaitu matematika. Untuk menjawab pertanyaan “Apakah matematika itu ?”tidak dapat dengan mudah dijawab.Hal ini dikarenakan sampai saat ini belum ada kepastian mengenai pengertian matematika karenapengetahuan dan pandangan masing-masing dari para ahli yang berbeda-beda. Ada yangmengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan dan ruang, matematika merupakan bahasa simbol, matematika adalah bahasa numerik, matematika adalah ilmu yang abstrak dandeduktif, matematika adalah metode berpikir logis,  matematika adalah ilmu yang mempelajarihubungan pola, bentuk dan struktur, matematika adalah ratunya ilmu dan juga menjadi pelayanilmu yang lain.

B.     Pengertian Matematika

Kata matematika berasal dari perkataan Latin mathematika yang mulanya diambil dariperkataan Yunani mathematike yang berarti mempelajari.Perkataan itu mempunyai asal katanya mathema yang berarti pengetahuan atau ilmu (knowledge, science). Kata mathematike berhubungan pula dengan kata lainnya yang hampir sama, yaitu mathein atau mathenein yang artinya belajar (berpikir). Jadi, berdasarkan asal katanya, maka perkataan matematika berarti ilmu pengetahuan yang didapat dengan berpikir (bernalar).

Menurut  Kamus Bahasa Indonesia (1997:430) matematika adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antar bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mengenai bilangan.

Matematika terbentuk dari pengalaman manusia dalam  dunianya secara empiris. Kemudian pengalaman itu diproses di dalam dunia rasio, diolah secara analisis dengan penalaran di dalam struktur kognitif sehingga sampai terbentuk konsep-konsep matematika, supaya konsep-konsep matematika yang terbentuk itu mudah dipahami oleh orang lain dan dapat dimanipulasi secara tepat, maka digunakan bahasa matematika atua notasimatematika yang bernilai global (universal). Konsep matematika didapat karena proses berpikir, karena itu logika adalah dasar terbentuknya matematika.

Pada awalnya cabang matematika yang ditemukan adalah Aritmatika atau Berhitung, Aljabar, Geometri setelah itu ditemukan Kalkulus, Statistika, Topologi, Aljabar Abstrak, AljabarLinear, Himpunan, Geometri Linier, Analisis Vektor,dll.

Beberapa Definisi Para Ahli Mengenai Matematika antara lain :

1.      Johnson dan Rising dalam Russefendi (1972)

Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis,matematika itu adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat,jelas dan akurat representasinya dengan simbol dan  padat, lebih berupa bahasa simbolmengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuatsecara deduktif berdasarkan kepada unsuryang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teoriyang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan  matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya.

2.      Kline (1973)

Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi, dan alam.

3.      James dan james (1976).

Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya.Matematika terbagi dalam tiga bagian besar yaitu aljabar, analisis dan geometri.Tetapi ada pendapat yang mengatakan bahwamatematika terbagi menjadi empat bagian yaitu aritmatika, aljabar, geometris dan analisis dengan aritmatika mencakup teori bilangan dan statistika.

4.      Russeffendi ET (1980)

Matematika lebih menekankan kegiatan dalam dunia rasio (penalaran), bukan menekankan dari hasil eksperimen atau hasil observasi matematika terbentuk karena pikiran-pikiran manusia, yang berhubungan dengan idea, proses, dan penalaran.

5.      Reys - dkk (1984)

Matematika adalah telaahan tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat.

6.      Russefendi (1988 : 23)

Matematika terorganisasikan dari unsur-unsur yang  tidak didefinisikan, definisi-definisi, aksioma-aksioma, dan dalil-dalil dimana dalil-dalil setelah dibuktikan kebenarannya berlaku secara umum, karena itulah matematika sering disebut ilmu deduktif.

7.      Soedjadi (2000:11)

Matematika adalah pengetahuan eksak  dengan objek  abstrak  meliputi  konsep, prinsip, dan operasi yang berhubungan dengan bilangan.

Dari beberapa pendapat di atas dapat disimpulkan bahwa matematika adalah ilmu tentang bilangan, hubungan antar bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mengenai bilangan dengan objek abstrak yang diatur secara logis yang didapat dengan berpikir.

C.    Karakteristik matematika

Sedikitnya matematika itu memiliki 6 karakteristik (ciri khusus), yaitu:

1.      Memiliki objek kajian yang abstrak

Semua objek kajian dalam matematika adalah abstrak atau objek pikiran atau objek mental. Objek-objek itu meliputi:

(a) fakta

(b) konsep

(c) operasi/ relasi/ skill dan

(d) prinsip

Dari objek-objek dasar itu kemudian disusun suatu pola dan struktur matematika.

a)      Fakta

Fakta adalah konvensi-konvensi (kesepakatan-kesepakatan) yang diungkapkan dengan simbol (notasi) tertentu.

Contoh fakta: “2”, “>”, “//”, “+”  dll.

b)      Konsep (yang berkaitan erat dengan definisi)

Konsep adalah idea abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan objek-objek tertentu, apalah merupakan contoh atau bukan contoh dari idea tersebut.

Contoh konsep: “bilangan asli”, “segitiga”, “fungsi”, “variabel”, “konstanta”, “matriks”, “vektor”, “group”, “ruang metrik”  dll.

Definisi adalah suatu ungkapan yang membatasi suatu konsep. Dengan definisi itu, sutau konsep dapat dibuat gambar atau ilustrasi atau lambangnya.

Dalam matematika terdapat tiga macam definisi, yaitu:

1.      Definisi analitis

Adalah definisi yang menyebutkan genus proksimum atau genus terdekat dan deferensia spesifika atau pembeda khususnya)

2.      Definisi genetic

Adalah definisi yang menyebutkan proses terjadinya

3.      Definisi dengan rumus

Adalah definisi yang dinyatakan dalam bentuk rumus, seperti: a – b = a+ (-b),  n! = n(n – 1),   0! = 1  dll.

c)      Operasi yang merupakan suatu fungsi (relasi khusus).

Operasi adalah suatu aturan untuk memperoleh elemen tunggal, dari satu atau lebih elemen yang diketahui.

Contoh operasi: penjumlahan, pengurangan, perkalian, perpangkatan, tambah lima dll (pada aljabar), gabungan, irisan, komplemen dll. (pada himpunan). Berdasarkan banyaknya unsur yang dioperasikan, dikenal adanya : operasi unair, operasi biner, operasi terner dsb Bila yang ditekankan adalah keterampilannya, operasi ini sering disebut skill.

d)     Prinsip

Prinsip adalah gabungan beberapa objek matematika (fakta atau konsep) yang dihubungkan dengan relasi atau operasi tertentu. Prinsip dalam matematika dapat berupa: aksioma, lemma, teorema (dalil) dan sifat.

2.      Bertumpu pada kesempatan

Kesepakatan yang amat mendasar dalam matematika adalah:

a.       Aksioma/postulat/asumsi/pernyataan pangkal (yang tidak perlu dibuktikan)

Aksioma diperlukan untuk menghindarkan berputar-putarnya argumentasi dalam pembuktian (cinculus in pro bando). Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma yang selanjutnya dapat menurunkan berbagai teorema. Dalam aksioma tentu terdapat konsep primitif tertentu dan dari satu atau lebih konsep primitif dapat dibentuk konsep baru melalui pendefinisian. (Penjelasan lebih lanjut pada Sistem dan Struktur Matematika).

b.      Konsep primitive/ undefined terms/ pengertian pangkal (yang tidak perlu didefinisikan) Konsep primitive diperlukan  untuk menghindarkan berputar-putar dalam pendefinisian (cincolus in definiando).

3.      Berpola pikir deduktif (dari hal yang bersifat umum diterapkan ke hal yang bersifat khusus)

Dalam matematika sebagai “ ilmu “ hanya diterima pola pikir deduktif dalam bentuk sederhana maupun kompleks. Tidak dibenarkan membuktikan kebenaran suatu teorema/ dalil secara induktif (dari hal yang bersifat khusus diarahkan ke hal yang bersifat umum). Memang benar banyak teorema dalam matematika ditemukan secara induktif (seperti Teorema Pytagoras), namun untuk dimasukkan ke dalam struktur matematika setelah ia dapat dibuttikan secara deduktif.

Contoh deduktif sederhana:

·         Ketika seorang anak SD yang baru menerima pelajaran di sekolah tentang persegi panjang, kemudian ia bisa menunjuk model-model benda yang berbentuk persegi panjang.

·         Pembuktian Jumlah besar susut-sudut segitiga = 180 derajat, melalui besar sudut lurus dan sifat sudut-sudut: di antara garis-garis sejajar. 

Contoh – Contoh Teorema untuk dibuktikan secara deduktif tidak sederhana:

·         Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap

·         A U B = B U A

4.      Memiliki Simbol Yang Kosong Dari Arti

Rangkaian simbol-simbol dalam matematika dapat membentuk suatu model matematika, yang dapat berupa: persamaan, pertidaksamaan, bangun geometri tertentu dan sebagainya.

Huruf-huruf yang digunakan dalam model persamaan, misalnya : “x+y = z” belum tentu berarti bilangan, demikian juga tanda “+“ belum tentu berarti operasi tambah dalam bilangan, namun tergantung dari permasalahan yang menyebabkan terbentuknya model itu.

Kosongnya arti simbol maupun tanda dalam model matematika itu justru memungkinkan “intervensi” matematika kedalam  berbagai pengetahuan dan memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu bahasa (liguistik)

5.      Memperhatikan Semesta Pembicaraan

Sehubungan dengan kosongnya arti dari simbol-simbol dan tanda-tanda dalam matematika jelas bahwa dalam menggunakan matematika diperlukan kejelasan dalam lingkup apa simbol itu dipakai, bila lingkup pembicaraan bilangan, maka simbol-simbol diartikan bilangan. Bila lingkup pembicaraannya transformasi maka simbol-simbol itu diartikan suatu transformasi. Lingkup pembicaraan itulah yang disebut semesta pembicaraan. Benar atau salahnya ataupun ada atau tidaknya penyelesaian suatu model matimatika ditentukan oleh semesta pembicaranya.

6.      Konsisten Dalam Sistemnya

Dalam matematika terdapat banyak sistem. Ada sistem yang mempunyai kaitan  satu sama lain tetapi juga ada sistem yang dapat dipandang terlepas satu sama lain. Misal dikenal sistem - sistem aljabar, atau sistem - sistem geometri. Di dalam masing-masing sistem dan struktur itu berlaku  konsistensi (tidak boleh terdapat kontradiksi) baik dalam makna maupun dalam hal nilai kebenaranya.

D.    Kedudukan Matematika

1.      Matematika Adalah Ilmu Deduktif

Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif, karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan carainduktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif dan eksperimen.

Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari  sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.

Contoh dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logamdipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia dapat membuat kesimpulan (generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai. Generalisasi yang dibuat secara induktif tersebut dalam ilmu fisika dapat dibenarkan contoh dalam ilmu fisika di atas, pada matematika contoh-contoh seperti itu baru dianggap sebagai generalisasi jika kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.

Berikut adalah beberapa contoh pembuktian dalil atau generalisasi pada matematika.Dalilatau generalisasi berikut dibenarkan dalam matematika karena sudah dapat dibuktikan secara deduktif.

Contoh 1

Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil adalah bilangan genap.Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5, 7.

 +         1         3         -5        7

1          2         4         -4        6

3          4         6         -2        10

-5         -4        -2        -10      2

7          8         10       2         14

Dari tabel di atas, terlihat bahwa untuk setiap duabilangan ganjil jika dijumlahkan hasilnya selalugenap.Dalam matematika hasil di atas belum dianggap sebagai suatu generalisasi,walaupun anak membuat contoh-contoh dengan bilangan yang lebih banyak lagi. Pembuktian dengancarainduktif ini harus dibuktikan lagi dengan cara deduktif.

Pembuktian secara deduktif sebagai berikut :

Misalkan :  a dan b adalah sembarang bilangan bulat,maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan genap genap, maka 2a +1 bilangna ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil.

Jika dijumlahkan :

(2a + 1) + (2b + 1) =

2a + 2b + 2 =

2 (a + b + 1) =

Karena a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) jugabilangan bulat, sehingga 2 (a + b +1) adalah bilangan genap. Jadi bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap(generalisasi).

Dalil-dalil dan rumus matematika itu ditentukan secara induktif (eksperimen), tetapi begitu suatu dalil ditemukan maka generalisasi itu harus dibuktikan kebenarannya secara deduktif.

Pada pembelajaran matematika di SD pembuktian dengan cara deduktif masih sulit dilaksanakan. Karena itu siswa SD hanya melakukan eksperimen (metode induktif).Percobaan-percobaan inipun masih menggunakan benda-benda konkrit (nyata).Untuk pembuktian deduktifmasih sulit dilaksanakan karena pembuktian deduktiflebih abstrak dan menuntut siswa mempunyai pengetahuan-pengetahuan siswa yang sebelumnya.Contoh : Pada pembuktianbilangan ganjil ditambah ganjil sama dengan bilangan genap siswa harus sudah mengerti bilanganganjil, genap, bulat dan dapat menyelesaikan dalam bentuk umum bilangan-bilangan tersebut.

2.      Matematika Adalah Ilmu Terstruktur

Matematika merupakan ilmu terstruktur yang terorganisasikan.Hal ini karena matematika dimulai dari unsur yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan ke aksioma / postulat dan akhirnya pada teorema.Konsep-konsepmtematika tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis, dan sistimatis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks. Oleh karena itu untuk mempelajari matematika, konsep sebelumnya yang menjadi prasyarat, harus benar-benar dikuasai agar  dapat memahami topik atau konsepselanjutnya.

Dalam pembelajaran matematika guru seharusnya menyiapkan kondisi siswanya agar mampu menguasai konsep-konsep yang akan dipelajari  mulai dari yang sederhana sampai yang lebih kompleks.

Contoh seorang siswa yang akan mempelajari sebuah volume kerucut haruslah mempelajarimulai dari lingkaran, luas lingkaran, bangun ruang  dan akhirnya volume kerucut. Untuk dapat mempelajari topik volume balok, maka siswa harus mempelajari rusuk atau garis, titik sudut, sudut,bidang datar persegi dan persegi panjang, luas persegi dan persegi panjang, dan akhirnya volume balok.

Struktur matematika adalah sebagai berikut :

a.       Unsur-unsur yang tidak didefinisikan

Misal : titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan dll.

Unsur-unsur ini ada, tetapi kita tidak dapat mendefinisikannya. Unsur-unsur yang didefinisikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan maka terbentuk unsur-unsur yang didefinisikan.

Misal : sudut, persegi panjang, segitiga, balok, lengkungan tertutup sederhana, bilangan ganjil, pecahan desimal, FPB dan KPK dll.

b.      Aksioma dan postulat

Dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan dan unsur-unsur yang didefinisikan dapat dibuatasumsi-asumsi yang dikenal dengan aksioma atau postulat.

Misal :

- Melalui 2 titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis.

- Semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar.

- Melalui sebuah titik hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus kesebuah garis yang lain.

- Sebuah segitiga tumpul hanya mempunyai sebuah sudut yang lebih besar dari 90⁰

Aksioma tidak perlu dibuktikan kebenarannya tetapi  dapat diterima kebenarannya berdasarkan pemikiran yang logis.

^c.         Dalil atau Teorema

Dari unsur-unsur yangtidak didefinisikan dan aksioma maka disusun teorema-teorema atau dalil-dalil yang kebenarannya harus dibuktikan dengan cara deduktif.

Misal :

- Jumlah 2 bilangan ganjil adalah genap

- Jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga sama dengan 180⁰

^- Jumlah kuadrat sisi siku-siku pada sebuahsegitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya.

3.      Matematika Adalah Ilmu Tentang Pola dan Hubungan

Matematika disebut sebagai ilmu tentang pola karenapada matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupkan representasinya untuk membuat generalisasi.

Misal :

Jumlah a bilangan genap selamanya sama dengan a²

Contoh :

a = 1 maka jumlahnya = 1 = 1²

Selanjutnya 1 dan 3 adalah bilangan-bilangan ganjilvjumlahnya adalah 4 = 2². Berikutnya 1, 3, 5, dan 7, maka jumlahnya adalah 16 = 4²dan seterusnya.

Dari contoh-contoh tersebut, maka dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu jumlah a bilangan ganjil yang berurutan sama dengan a².

Matematika disebut ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.

Misalnya : Antara persegi panjang dengan balok, antara persegi dengan kubus, antara kerucut dengan lingkaran, antara 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 =6, antara 10²= 100 dengan  100 = 10.

Demikian juga cabang matematika satu dengan lainnyasaling berhubungan seperti aritmatika, aljabar, geometri, statistika, dan analisis.

4.      Matematika Adalah Bahasa Simbol

Matematika yang terdiri dari simbol-simbol yang sangat padat arti dan bersifat internasional. Padat arti berarti simbol-simbol matematika ditulisdengan cara singkattetapi mempunyai arti yang luas.

Misal : = 3 , 3 + 5 = 8,  = 1 x 2 x 3

log 100 = 2 , cos, tg, sin, ∪, ∩, =, >, <

5.      Matematika sebagai Ratu dan Pelayan Ilmu

Matematika sebagai ratu ilmu artinya matematika sebagai alat dan pelayan ilmu yang lain. Banyak sekali cabang ilmu pengetahuanyang pengembangan teori-teorinya didasarkan pada pengembangan konsepmatematika. Sebagai contoh, banyak teori-teori dan cabang-cabang dari fisikadan kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsepkalkulus, khususnya tentang persamaan differensial. Contoh lain, teoriekonomi mengenai permintaan dan penawaran yang dikembangkan melaluikonsep fungsi dan kalkulus tentang differensial dan integral.Dari kedudukan matematika sebagai pelayan ilmu pengetahuan,tersirat bahwa matematika sebagai suatu ilmu yang berfungsi pula untukmelayani ilmu pengetahuan. Dapat dikatakan bahwa matematika tumbuh danberkembang untuk dirinya sendiri sebagai suatu ilmu dan sebagai penyediajasa layanan untuk pengembangan ilmu-ilmu yang lain pula.

E.     Kegunaan Matematika

1.      Matematika sebagai pelayan ilmu yang lain.

Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika.

Contoh :

o   Penemuan dan pengembangan Teori Mendel dalam Biologi melalui konsep Probabilitas.

o   Perhitungan dengan bilangan imajiner digunakan untuk memecahkan masalah tentang kelistrikan.

o   Dengan matematika, Einstein membuat rumus yang dapat digunakan untuk menaksir jumlah energi yang dapat diperoleh dari ledakan atom.

o   Dalam ilmu pendidikan dan psikologi, khususnya dalam teori belajar, selain digunakan statistik juga digunakan persamaan matematis untuk  menyajikan teori atau model dari penelitian.

o   Dalam ilmu kependudukan, matematika digunakan untukmemprediksi jumlah penduduk dll.

o   Dalam seni grafis, konsep transformasi geometric digunakan untuk melukis mosaik.

o   Dalam seni musik, barisan bilangan digunakan untuk merancang alat musik.

o   Banyak teori-teori dari Fisika dan Kimia (modern) yang ditemukan dan dikembangkan melalui konsep Kalkulus.

o   Teori Ekonomi mengenai Permintaan dan Penawaran dikembangkan melalui konsep FungsiKalkulus tentang Diferensial dan Integral.

2.      Matematika digunakan manusia untuk memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh :

o   Memecahkan persoalan dunia nyata.

o   Mengadakan transaksi jual beli, maka manusia memerlukan proses perhitungan matematika yang berkaitan dengan bilangan dan operasihitungnya.

o   Menghitung luas daerah.

o   Menghitung jarak yang ditempuh dari suatu tempat ke tempat yang lain.

o   Menghitung laju kecepatan kendaraan.

o   Membentuk pola pikir menjadi pola pikir matematis, orang yangmempelajarinya kritis, sistimatis dan logis.

o   Menggunakan perhitungan matematika baik dalam pertanian, perikanan,perdagangan, dan perindustrian.

F.     Pengertian Matematika Sekolah

Matematika sekolah merupakan bagian dari matematika yang diajarkan di semua jenjang sekolah (SD/ MI, SMP/ MTs. dan SMA/ MA atau SMK/ MAK), bagian dari matematika yang dipilih berdasarkan/ beroriantasi pada kepentingan pendidikan (disesuaikan dengan perkembangan intelektual siswa) dan perkembangan IPTEK.Dari pengertian itu menunjukkan bahwa terdapat beberapa perbedaan antara matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah dalam 4 hal yaitu dalam hal:

(a) teknik penyajian,

(b) pola pikir yang digunakan,

(c) keterbatasan semesta dan

 (d) tingkat keabstrakannya.

Beberapa perbedaan tersebut dapat dilihat pada tabel berikut ini:

Tabel Beberapa perbedaan matematika sebagai ilmu dengan matematika sekolah

Perbedaan dlm	Mat. Sbg Ilmu	Mat. Sekolah
Penyajian biasanya	Dimulai dari definisi/kadang aksioma – teorema – contoh – contoh	Dimulai dengan contoh-contoh yang terkait dengan realitas di sekitar siswa/ pemakaiannya, baru mengarah ke definisi, aksioma/sifat secara informal & secara berangsur-angsur menuju formal
Pola pikir yang digunakan	Murni deduktif – aksiomatik	Induktif – tapi harus mengarah ke deduktif
Semestanya	Tidak dibatasi	Dibatasi sesuai dengan tarap perkembangan berpikir siswa
Keabstra-kan materinya	Tetap abstrak	Diupayakan mulai dari konkrit – semi konkrit – semi abstrak - abstrak

G.    Peran Matematika Sekolah

Sesuai dengan tujuan diberikannya matematika di sekolah, kita dapat melihat bahwa matematika sekolah memegang  peranan sangat penting. Anak didik memerlukan matematika untuk memenuhi kebutuhan praktis dan memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari.Misalnya, dapat berhitung, dapat menghitung isi dan berat, dapat mengumpulkan, mengolah, menyajikan dan menafsirkan data, dapat menggunakan kalkulator dan komputer. Selain itu, agar mampu mengikuti pelajaran matematika lebih lanjut, membantu memahami bidang studi lain seperti fisika, kimia, arsitektur, farmasi, geografi, ekonomi, dan sebagainya, dan agar para siswa dapat berpikir logis, kritis, dan praktis, beserta bersikap positif dan berjiwa kreatif.

Sebagai warga negara Indonesia yang berhak mendapatkan pendidikan seperti yang tertuang dalam UUD 1945, tentunya harus memiliki pengetahuan umum minimum.Pengetahuan minimum itu diantaranya adalah matematika.Oleh sebab itu, matematika sekolah sangat berarti baik bagi para siswa yang melanjutkan studi maupun yang tidak.

Bagi mereka yang tidak melanjutkan studi, matematika dapat digunakan dalam berdagang dan berbelanja, dapat berkomunikasi melalui tulisan/gambar seperti membaca grafik dan persentase, dapat membuat catatan-catatan dengan angka, dan lain-lain. Kalau diperhatikan pada berbagai media massa, seringkali informasi disajikan dalam bentuk persen, tabel, bahkan dalam bentuk diagram. Dengan demikian, agar orang dapat memperoleh informasi yang benar dari apa yang dibacanya itu, mereka harus memiliki pengetahuan mengenai persen, cara membaca tabel, dan juga diagram. Dalam hal inilah matematika memberikan peran pentingnya.

Sejalan dengan kemajuan jaman, tentunya pengetahuan semakin berkembang.Supaya suatu negara bisa lebih maju, maka negara tersebut perlu memiliki manusia-manusia yang melek teknologi.Untuk keperluan ini tentunya mereka perlu belajar matematika sekolah terlebih dahulu karena matematika memegang peranan yang sangat penting bagi perkembangan teknologi itu sendiri.Tanpa bantuan matematika tidak mungkin terjadi perkembangan teknologi seperti sekarang ini.

Namun demikian, matematika dipelajari bukan untuk keperluan praktis saja, tetapi juga untuk perkembangan matematika itu sendiri. Jika matematika tidak diajarkan di sekolah maka sangat mungkin matematika akan punah. Selain itu, sesuai dengan karakteristiknya yang bersifat hirarkis, untuk mempelajari matematika lebih lanjut harus mempelajari matematika level sebelumnya.Seseorang yang ingin menjadi ilmuawan dalam bidang matematika, maka harus belajar dulu matematika mulai dari yang paling dasar.

Jelas bahwa matematika sekolah mempunyai peranan yang sangat penting baik bagi siswa supaya punya bekal pengetahuan dan untuk pembentukan sikap serta pola pikirnya, warga negara pada umumnya supaya dapat hidup layak, untuk kemajuan negaranya, dan untuk matematika itu sendiri dalam rangka melestarikan dan mengembangkannya.

H.    Fungsi Matematika Sekolah

Fungsi matematika adalah sebagai media atau sarana siswa dalam mencapai kompetensi. Dengan mempelajari materi matematika diharapkan siswa akan dapat menguasai seperangkat kompetensi yang telah ditetapkan. Oleh karena itu, penguasaan materi matematika bukanlah tujuan akhir dari pembelajaran matematika, akan tetapi penguasaan materi matematika hanyalah jalan mencapai penguasaan kompetensi. Fungsi lain mata pelajaran matematika sebagai: alat, pola pikir, dan ilmu atau pengetahuan. Ketiga fungsi matematika tersebut hendaknya dijadikan acuan dalam pembelajaran matematika sekolah.

Dengan mengetahui fungsi-fungsi matematika tersebut diharapkan kita sebagai guru atau pengelola pendidikan matematika dapat memahami adanya hubungan antara matematika dengan berbagai ilmu lain atau kehidupan. Sebagai tindaklanjutnya sangat diharapkan agar para siswa diberikan penjelasan untuk melihat berbagai contoh penggunaan matematika sebagai alat untuk memecahkan masalah dalam mata pelajaran lain, dalam kehidupan kerja atau dalam kehidupan sehari-hari. Namun tentunya harus disesuaikan dengan tingkat perkembangan siswa, sehingga diharapkan dapat membantu proses pembelajaran matematika di sekolah.

Siswa diberi pengalaman menggunakan matematika sebagai alat untuk memahami atau menyampaikan suatu informasi misalnya melalui persamaan-persamaan, atau tabel-tabel dalam model-model matematika yang merupakan penyederhanaan dari soal-soal cerita atau soal-soal uraian matematika lainnya.Bila seorang siswa dapat melakukan perhitungan, tetapi tidak tahu alasannya, maka tentunya ada yang salah dalam pembelajarannya atau ada sesuatu yang belum dipahami.Belajar matematika juga merupakan pembentukan pola pikir dalam pemahaman suatu pengertian maupun dalam penalaran suatu hubungan di antara pengertian-pengertian itu.

Dalam pembelajaran matematika, para siswa dibiasakan untuk memperoleh pemahaman melalui pengalaman tentang sifat-sifat yang dimiliki dan yang tidak dimiliki dari sekumpulan objek (abstraksi).Dengan pengamatan terhadap contoh-contoh diharapkan siswa mampu menangkap pengertian suatu konsep.Selanjutnya dengan abstraksi ini, siswa dilatih untuk membuat perkiraan, terkaan, atau kecenderungan berdasarkan kepada pengalaman atau pengetahuan yang dikembangkan melalui contoh-contoh khusus (generalisasi). Di dalam proses penalarannya dikembangkan pola pikir induktif maupun deduktif. Namun tentu kesemuanya itu harus disesuaikan dengan perkembangan kemampuan siswa, sehingga pada akhirnya akan sangat membantu kelancaran proses pembelajaran matematika di sekolah.

Fungsi matematika yang ketiga adalah sebagai ilmu pengetahuan, oleh karena itu, pembelajaran matematika di sekolah harus diwarnai oleh fungsi yang ketiga ini.Sebagai guru harus mampu menunjukkan bahwa matematika selalu mencari kebenaran, dan bersedia meralat kebenaran yang telah diterima, bila ditemukan kesempatan untuk mencoba mengembangkan penemuan-penemuan sepanjang mengikuti pola pikir yang sah.

Dalam buku standar kompetensi matematika Depdiknas, secara khusus disebutkan bahwa fungsi matematika adalah mengembangkan kemampuan berhitung, mengukur, menurunkan rumus dan menggunakan rumus matematika yang diperlukan dalam kehidupan sehari-hari melalui pengukuran dan geometri, aljabar, peluang dan statistika, kalkulus dan trigonometri. Metamatika juga berfungsi mengembangkan kemampuan mengkomunikasikan gagasan melalui model matematika, diagram, grafik, atau tabel.

I.       Tujuan Matematika Sekolah

Matematika diajarkan di sekolah membawa misi yang sangat penting, yaitu mendukung ketercapaian tujuan pendidikan nasional. Secara umum tujuan matematika sekolah dapat digolongkan menjadi :

                                 1.         Tujuan yang bersifat formal, menekankan kepada menata penalaran dan membentuk kepribadian siswa.

                                 2.         Tujuan yang bersifat material menekankan kepada kemampuan memecahkan masalah dan menerapkan matematika.

Secara lebih terinci, tujuan pembelajaran matematika dipaparkan pada buku standar kompetensi mata pelajaran matematika sebagai berikut:

                                 1.         Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsistensi dan inkonsistensi.

                                 2.         Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.

                                 3.         Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah.

                                 4.         Mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan.

J.      Ruang Lingkup Matematika Sekolah

Pembelajaran matematika di sekolah diarahkan pada pencapaian standar kompetensi dasar oleh siswa.Kegiatan pembelajaran matematika tidak berorientasi pada penguasaan materi matematika semata, tetapi materi matematika diposisikan sebagai alat dan sarana siswa untuk mencapai kompetensi.Oleh karena itu, ruang lingkup mata pelajaran matematika yang dipelajari di sekolah disesuaikan dengan kompetensi yang harus dicapai siswa.

Standar kompetensi matematika merupakan seperangkat kompetensi matematika yang dibakukan dan harus ditunjukkan oleh siswa sebagai hasil belajarnya dalam mata pelajaran matematika.Standar ini dirinci dalam kompetensi dasar, indikator, dan materi pokok, untuk setiap aspeknya.Pengorganisasian dan pengelompokan materi pada aspek tersebut didasarkan menurut kemahiran atau kecakapan yang hendak ingin di capai.

Merujuk pada standar kompetensi dan kompetensi dasar yang harus dicapai siswa maka ruang lingkup materi matematika adalah aljabar, pengukuran dan geomerti, peluang dan statistik, trigonometri, serta kalkulus.